ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

Introducción

Para la resolución matemática de la estructura, es decir, el estudio de las cargas y esfuerzos, existen varios métodos de análisis de deformaciones de vigas. La asignatura de RESISTENCIA DE MATERIALES II es muy importante la cual brindará al estudiante las herramientas necesarias para determinar deflexiones y giros en elementos estructurales es por eso que para resolver un problema de análisis estructural es necesario hacer tanto un estudio matemático, para determinar las cargas y esfuerzos que afectan a la estructura, como un estudio arquitectónico, para determinar el material a utilizar en la construcción de la estructura así como sus dimensiones. Para eso hay varios métodos matemáticos de análisis de deformaciones de vigas entre ellos tenemos: método de área de momento, método de viga conjugada, tres momentos, método de la doble integración y método matricial, este último se presenta a través de un programa computacional llamado sap 2000. En el presente trabajo daremos a conocer todo lo referente al método de Tres Momentos que a continuación lo mostrare.

GENERALIDADES

- Objetivos

· Dar a conocer todo lo referente al método de Tres Momentos.
· Analizar toda la teoría a fin de no tener problemas al momento de resolver los ejercicios.
· Resolver ejercicios utilizando el Método de tres momentos.

- Limitaciones del Trabajo

. Aplicar la ecuación de los tres momentos en vigas hiperestáticas.
. Interpretar correctamente la ecuación de los tres momentos.
. Graficar correctamente los DFC y DMF.

MARCO TEORICO

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enuncio por primera vez la ecuación fundamental de los tres momentos.

“La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”.

Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga.

Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos.

Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyo extremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

- Ecuación de los Tres Momentos

Vigas Continuas

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:






Los términos: pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.


Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose o restándose.

Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos por cada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

Tramos 1 - 2
Tramos 2 - 3
Tramos 3 - 4
En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5). Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en tos extremos pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para el diagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para el diagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir la siguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valen cero:

O sea:

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.


Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguiente fórmula, para cada tramo:

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo:


Ejerccios:

ANEXOS

Vigas continuas:

BIBLIOGRAFIA

· ANALISIS ESTRUCTURAL, Genaro Delgado Contreras. Ediciones Edicivil. S.R.L. Lima – Perú, 83p

· RESITENCIA DE MATERIALES “Problemas Resueltos”, Isidoro Tiburcio. Ed. San Marcos. Lima – Perú, 320p.

· http://webdelprofesor.ula.ve/arquitectura/jorgem/principal/guias/vigas.pdf