VIGA CONJUGADA

Introducción

Para la resolución matemática de la estructura, es decir, el estudio de las cargas y esfuerzos, existen varios métodos de análisis de deformaciones de vigas.

La asignatura de Resistencia De Materiales II es muy importante porque brinda al estudiante las herramientas necesarias para determinar deflexiones y giros en elementos estructurales es por eso que para resolver un problema de análisis estructural es necesario hacer tanto un estudio matemático, para determinar las cargas y esfuerzos que afectan a la estructura, como un estudio arquitectónico, para determinar el material a utilizar en la construcción de la estructura así como sus dimensiones.

Para eso hay varios métodos matemáticos de análisis de deformaciones de vigas entre ellos tenemos:

- Método de área de momento
- Método de viga conjugada,
- Tres momentos
- Método de la doble integración y
- Método matricial, este último se presenta a través de un programa computacional llamado SAP 2000. En el presente trabajo daremos a conocer todo lo referente al método de Viga Conjugada que a continuación lo mostrare.

GENERALIDADES

º Objetivos:
· Dar a conocer todo lo referente al método de Viga Conjugada.
· Analizar toda la teoría a fin de no tener problemas al momento de resolver los ejercicios.
· Resolver ejercicios utilizando el método de Viga Conjugada.

º Limitaciones Del Trabajo:

. Interpretar correctamente los teoremas de Mohr.

º Justificación Del Trabajo:

. Conocer la teoría o conceptos básicos del método de la viga conjugada para así poder dar solución a problemas relacionados con la pendiente y la deflexión en vigas.

. Analizar los diagramas de momentos de la viga la que se deforma debido a las cargas existentes para así saber como diseñar estructuras considerando la deformación que pueda tener al ser sometido a cargas.

ºGlosario De Términos:

. Viga conjugada.- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicada del lado de la compresión.

. Fuerza cortante.- La fuerza cortante viene a ser el resultado de la acción de fuerzas verticales que actúan en una sección determinada de una viga y tiende a cortar la viga.

. Momento flector.- Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión.

. Deflexión de una viga.- Es el desplazamiento de un punto sobre la superficie neutra de una viga de su posición original bajo la acción de las fuerzas aplicadas.

MARCO TEÓRICO

*Método De La Viga Conjugada
Es un método que nos permitirá calcular giros y flechas de los elementos horizontales denominados vigas y para el caso de las columnas, nos permitirá calcular giros y desplazamientos.
La relación entre ordenadas, pendientes y momentos son los mismos los que existe entre momentos, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarse el método de área de momentos para determinar el momento flector, partiendo del diagrama de cargas de la misma manera que se ha empleado para determinar las coordenadas a partir del diagrama de momentos.

E I Y = Deformación (ordenada de la elástica).
EI dy/dx = Pendiente
E I d2y/dx2 = Momento = M
EI d3y/dx3 = Fuerza Cortante = V = dM/dx
EI d4y/dx4 = Carga = dy/dx = d2M/dx2

La analogía entre la relación de carga – fuerza cortante – momento flector y entre momentos – pendientes – ordenadas sugiere que estas últimas se pueden establecer con los métodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector a partir de la carga. Para ello hay que suponer que la viga esta cargada, no con las cargas reales si no con el diagrama de M/EI correspondientes a dichas cargas.
Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se corresponden con la pendiente, y las ordenadas de las elásticas en los mismos puntos de la viga inicial. A este método se le considera MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA.
Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene:
1.) Pendiente Real = Fuerza Cortante Ficticia
2.) Ordenada Real = Momento Flector Ficticio

*Definición De Viga Conjugada

Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la comprensión.
La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.
Conclusión:
El cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha sección.
El momento flector es una sección de la viga conjugada es la flecha en la viga real en dicha sección.

*Relación Entre La Viga Real Y La Viga Conjugada

EI d4y/dx4 = Carga EI d2y/dx2 = Momento
EI d3y/dx3 = V EI dy/dx = θ (primera integración)
EI d2y/dx2 = M E I Y = y (segunda integración)

a) Un apoyo extremo en la viga principal (ordenada, o sea segunda integral, nula) ha de transformarse en un apoyo (M ficticio, o sea segunda integración nula) en la viga conjugada.
b) Un apoyo intermedio en la viga principal (ordenada, o sea segunda integral, nula y pendiente o primera integración cualquiera. Pero igual a ambos lados) ha de transformarse en una articulación de la viga conjugada (M ficticio, segunda integración nula, nula V ficticio o sea primera integración, cualquiera pero igual a ambos lados).
c) Un extremo empotrado en la viga principal (pendiente y ordenada o sea primera y segunda integración nulas) ha de transformarse en un extremo libre en la viga conjugada (V ficticia y M ficticio, o sea primera y segunda integración nulas).
d) Un extremo libre en la viga principal (pendiente y ordenada o sea primera y segunda integración, lo que corresponda por las restantes condiciones de sujeción y momentos flectores) ha de transformarse en un extremo empotrado en la viga conjugada (V ficticia y M ficticio, o sea primera y segunda integración, lo que corresponda por las restantes condiciones se sujeción y cargas ficticias).

*Demostración Analítica De La Relación Entre Fuerza Cortante Ficticia Y Pendiente Real Y Momento Flector Ficicio Y Ordenada Real

t B/A = ∫ (Mdx/EI )(x)
θA= t B/A / 1
θA= 1/1∫ (Mdx/EI) (x)…………. (1)

En la viga conjugada calculamos el valor de rA:
Σ MB= 0

rA´ 1=∫ (Mdx/EI) (x)
rA´ =1/1∫ (Mdx/EI) (x)……….… (2)
De 1 y 2 concluimos que θA=rA

El giro en el apoyo es igual a la flecha cortante en el apoyo correspondiente de la viga conjugada según la ecuación de Breese θc=θA - θAC

Θc = rA´ - ∫ (Mdx/EI) (x)……………… (3)

Calculando en la viga conjugada la fuerza cortante en C

Vc´ = rA´ - ∫ (Mdx/EI)………………. (4)

De 3 y 4 concluimos que:

Por lo tanto podemos concluir:
EL GIRO ES UNA SECCION CUALESQUIERA DE LA VIGA REAL ES IGUAL A LA FUERZA CORTANTE EN LA SECCION CORRESPONDIENTE DE LA VIGA CONJUGADA.

En la viga real vemos que la flecha del punto C es:

fc =a θc – t C/A
fc =a rA - ´∫ (Mdx/EI) (x)…………. (5)

En la viga conjugada:

Mfc = rA (a) - ∫ (Mdx/EI) (x)…………. (6)

Donde Mfc´ es el momento flector de c´ en la viga conjugada.
De la ecuación (5) y (6) concluimos que:

Es decir:
LA FLECHA O DEFLECCION VERTICAL ES UNA SECCION CUALESQUIERA DE LA VIGA REAL ES IGUAL AL MOMENTO FLECTOR EN LA SECCIN CORRESPONDIENTE DE LA VIGA CONJUGADA.

Convención de signos:
· Si la FUERZA CORTANTE sale con signo POSITIVO el GIRO es HORARIO
· Si el MOMENTO FLECTOR sale con signo NEGATIVO la FLECHA es HACIA ABAJO.

En la figura se muestran los tipos de apoyo en las vigas reales y su equivalente en la viga conjugada.

Viga real Viga conjugada

*Tercer Teorema De Mohr, Teorema De La Viga Conjugada.

Definimos como viga conjugada de otra dada a la misma viga con idénticas condiciones geométricas y de sustentación, pero con un sistema de cargas que coincide con el diagrama de momentos flectores de la primera. Así, por ejemplo, si tenemos una viga en ménsula con una carga puntual en el extremo, la viga conjugada se obtendría de la siguiente manera:

Una vez que tenemos calculado el diagrama de momentos flectores, la viga conjugada de ésta, sería otra ménsula idéntica, pero con el esquema de cargas coincidente con el diagrama de momentos flectores obtenido. Y como éste es negativo, para seguir con el convenio de signos adoptado, las cargas serían hacia abajo.

Si se quiere calcular el giro en cualquier sección de la viga primera, pero utilizando el método de la conjugada, éste sería igual al valor del cortante dividido por “EI” en la conjugada.

Si lo que queremos calcular es la flecha en una sección cualquiera de la viga primera, ésta sería igual al valor del Momento flector dividido por “EI” en la conjugada.

*Teoremas De Mueller Braslow.

En este método, se supone una viga ficticia llamada viga conjugada que tiene el mismo claro que la viga original cuyas condiciones de apoyo respetan las deformaciones que aparecen en los apoyos de la viga real de forma tal que si la viga conjugada se carga con el diagrama M/EI de la viga real, la fuerza cortante de la viga conjugada en una sección cualquiera es igual a la pendiente de la tangente de la viga real en ese punto; mientras que el momento flexionarte de la viga conjugada en un punto cualquiera es igual al desplazamiento de ese punto en la viga real.

En la figura se muestran los tipos de apoyo en las vigas reales y su equivalente en la viga conjugada.

En general, se puede establecer:

1. Un apoyo simple extremo de la estructura real se transforma en un apoyo simple en la viga conjugada.
2. Un apoyo de empotramiento en la estructura real se transforma en un extremo libre en la viga conjugada y viceversa.
3. Un apoyo interior en la estructura real se transforma en una articulación en la viga conjugada y viceversa.

EJERCICIOS

º Conclusiones:

· Mediante este método nos permitirá calcular giros y flechas de los elementos horizontales denominados VIGAS.

· Una vez analizada la teoría ya sabremos lo que es la práctica sin tener problemas.

· La relación entre ordenadas, pendientes y momentos son los mismos los que existe entre momentos, fuerza cortante y carga.

· La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.

º Recomendaciones:

· Es recomendable estudiar bien este método ya que mediante el podemos calcular giros y flechas de los elementos horizontales denominados VIGAS.

· Debemos recordar que la viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.

º Anexos:

º Bibliografía

. ANALISIS ESTRUCTURAL, Genaro Delgado Contreras. Ediciones Edicivil. S.R.L. Lima – Perú, 57p
. RESITENCIA DE MATERIALES, Juan Muños Dupont. Ed. Iberia S.A. Lima – Perú, 228p.
. RESITENCIA DE MATERIALES “Problemas Resueltos”, Isidoro Tiburcio. Ed. San Marcos. Lima – Perú, 320p.
http://fi.uaemex.mx/adgc/AE/AE4.htm
http://www.ing.una.py/DIREC_PPAL/ACADEMICO/APOYO/Mecanica%20de%.20Materiales%20I/Clase%2012%20-%20Viga%20Conjugada%20V250505.pdf
http://citywiki.ugr.es/w/images/5/5f/Teoremas_de_Mohr